Soit \(n\in\Bbb N,I=]\alpha,\beta[\) et \(f:I\to\Bbb R\) de classe \(\mathcal C^n(I,\Bbb R)\)
On appelle polynôme de Taylor d'ordre \(n\) relatif à \(f\) au point \(a\in]\alpha,\beta[\) l'expression $${{T_n(f,a,x)}}={{\sum^n_{k=0}\frac{f^{(k)}(a) }{k!}(x-a)^k}}$$
(Polynôme, Dérivées successives, Factorielle)
Le théorème de Taylor prône que si une fonction \(f\) peut être dérivable un nombre infini de fois, alors elle peut être approximée par une série de Taylor
Reste de Taylor
Proposition :
Si \(f\in\mathcal C^n(I,\Bbb R)\), et \(a\in I\), le polynôme \(T_n(f,a,x)\) dans la variable \(x\) est l'unique polynôme \(P\) de degré au plus \(n\) tq $$P(a)=f(a),P'(a)=f'(a),\ldots,P^n(a)=f^n(a)$$
Démonstration :
Formule de Taylor - Formule de Taylor-Young
Formule de Taylor pour les polynômes
Fonction analytique
